Йі(хэу‚[) — Н!([)э
а/( умг)сова + ру(х у)зта = О. 
13
^
а = (п,Ох), (х‚у) е аО др 
Е = 1 п)
где д{(х,у,0) и ру(х,у,0) неизвестные продольные и поперечные составляющие расходы
потока воды, Н{(1) и О;(1) - заданные функции изменения глубины и расходов потока воды
на соответствующей жидкой части, а — угол между осями нормали к границе и х.
На твердой части границы задается в виде
4; (х, у, Г) сова + р;(х, у,)зт а = 0,
^ 
(14)
а = (п,Ох), (х,у)е аО 
1 =1пц.
Физический смысл (14) означает, что суммарные составляющие продольных и
поперечных расходов воды по нормали к границе будут равны нулю.
Общей границей области будет объединение твердых и жидких частей границы
п.ж 
п.ж
д0 = ао„ )а0,, ад =| )а д аО. 
= [ )а 
(15)
=1 
=1
Таким образом, для моделирования двумерного течения воды в открытых руслах
необходимо решить систему уравнений (9) с краевыми условиями (12)-(14).
Система уравнений (9) относится к квазилинейным дифференциальным уравнениям
в частных производных со сложными краевыми условиями и областями определения
переменных, точное решение сформулированной задачи получить невозможно, поэтому
необходимо использовать различные численные методы для приближенного решения.
Численное решение. Для моделирования задач гидродинамики обычно применяются
методы конечных разностей и конечных элементов. Использование метода конечных
разностей для моделирования двумерного неустановившегося движения воды в открытых
руслах эффективно применяется в случае, если область определения переменных потока
имеет правильную форму. Использование конечно-разностного метода для моделирования
двумерного движения воды использовались в работах [2-5]. В случае, если область
определения имеет неправильную форму, использование конечно-разностного метода
усложняется в построении разностной сетки и определении граничных условий.
В последние годы с развитием теории аппроксимации, сплайнов 
и методов
Галеркина [6,7] для моделирования двумерных объектов 
со 
сложными 
©областями
определения широко начали использоваться метод конечных элементов. Метод конечных
элементов стал почти незаменимым в случае, когда необходимо учесть геометрические
особенности областей определения. В этом случае современный компьютер используется
одновременно для формулирования и построения дискретных аппроксимаций и для
решения системы уравнений, поэтому в данной работе рассмотрено применение метода
конечных элементов для моделирования двумерного неустановившегося движения воды в
открытых руслах.
Производя разностную аппроксимацию уравнения (9) первого порядка по времени
получим
П!‹+1 — П/‹ 
дП/‹Н 
дпі‹н
+А(П"+1)д—+В(Н]°+1)д—+В(П]...)=0 к=1,2,3, .. 
(16)
Т 
Х 
)
Линеаризуя коэффициенты уравнения 
и учитывая непрерывность параметров
потока, после несложных преобразований получим уравнение
-21-